Question

已知a為實(shí)數(shù)，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）按導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求解
（2）由f′（-1）=0代入可得f（x），先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過比較極值點(diǎn)與端點(diǎn)的大小從而確定出最值
（3）（法一）由題意可得f′（2）≥0，f′（-2）≥0聯(lián)立可得a的范圍
    （法二）求出f′（x），再求單調(diào)區(qū)增間（-∞，x_1）和[x₂，+∞），依題意有（-∞，-2）⊆（-∞，x_1）[2，+∞]⊆[x₂，+∞）

解答：解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0得a=

1

2

，此時有f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)，f′(x)=3x2-x-4．
由f'（x）=0得x=

4

3

或x=-1，又f(

4

3

)=-

50

27

，f(-1)=

9

2

，f(-2)=0，f(2)=0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值為

9

2

，最小值為-

50

27

．
（3）解法一：f'（x）=3x²-2ax-4的圖象為開口向上且過點(diǎn)（0，-4）的拋物線，由條件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范圍為[-2，2]．
解法二：令f'（x）=0即3x²-2ax-4=0，由求根公式得：x1，2=

a± a2+12

3

(x1＜x2)
所以f'（x）=3x²-2ax-4．在（-∞，x₁]和[x₂，+∞）上非負(fù)．
由題意可知，當(dāng)x≤-2或x≥2時，f'（x）≥0，
從而x₁≥-2，x₂≤2，
即

a2+12 ≤6-a a2+12 ≤a+6

解不等式組得-2≤a≤2．
∴a的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的求解，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在
（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間要區(qū)分“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)遞增”兩個不同概念．