Question

已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，設(shè)F（x）=f（x）+

1

f(x)

，討論F （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決．對(duì)差的符號(hào)進(jìn)行判斷時(shí)要注意根據(jù)其形式選擇判斷的方式．

解答：解：在R上任取x₁、x₂，設(shè)x₁＜x₂，
∴f（x₂）＞f（x₁），
F(x2)-F(x2)=[f(x2)+

1

f(x2)

]-[f(x1)+

1

f(x1)

]
=[f(x2) -f(x1) ][1-

1

f(x1) f(x2)

]
∵f（x）是R上的增函數(shù)，且f（5）=1，
∴當(dāng)x＜5時(shí)0＜f（x）＜1，而當(dāng)x＞5時(shí)f（x）＞1；
①若x₁＜x₂＜5，則0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
∴1-

1

f(x1) f(x2)

＜0，
∴F（x₂）＜F（x₁）；
②若x₂＞x₁＞5，則f（x₂）＞f（x₁）＞1，
∴f（x₁）f（x₂）＞1
∴1-

1

f(x1)f(x2)

＞0
∴F（x₂）＞F（x₁）
綜上，F(xiàn)（x）在（-∞，5）為減函數(shù)，在（5，+∞）為增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目中所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小，或

f(x 1)

f(x 2)

的大小．有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝?span id="6161666" class="MathJye">x1=x2•

x1

x2

，x₁=x₂+x₁-x₂