Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（ 2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥CB …（4分）
又C₁C∩CB=C，
∴AC⊥平面C₁CB₁B，又BC₁?平面C₁CB₁B，
∴AC⊥BC₁…（7分）
（2）設(shè)CB₁∩BC₁=E，∵C₁CBB₁為平行四邊形，
∴E為C₁B的中點…（10分）
又D為AB中點，∴AC₁∥DE…（12分）
DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁…（14分）
分析：（1）利用ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，證明CC₁⊥AC，利用AB²=AC²+BC²，說明AC⊥CB，證明AC⊥平面C₁CB₁B，推出AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁∩BC₁=E，說明E為C₁B的中點，說明AC₁∥DE，然后證明AC₁∥平面CDB₁．
點評：本題考查直線與平面垂直，直線與直線垂直，直線與平面平行的證明，考查邏輯推理能力．