Question

有一個(gè)底面半徑和高都是R的圓錐形密閉容器，容器中裝有一些水．如果底朝下（且水平）時(shí)水的高度為1/2R，那么當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時(shí)容器中水的高度為多少？

Answer 1

分析：如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時(shí)水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時(shí)水面的圓心為A．利用體積之差求出V_QO，又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³即可求得當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時(shí)容器中水的高度．

解答：解：如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時(shí)水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時(shí)水面的圓心為A．則
V_SO=

1

3

πR²×R=

1

3

πR³
∴V_QO=

1

3

πR³-

1

3

π（

R

2

）³=

7

24

πR³
又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³
由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³
∴h=

3 7

2

R．
那么當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時(shí)容器中水的高度為

3 7

2

R．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）、組合幾何體的面積、體積問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．