Question

點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)：

x2

a2

-

y2

b2

 =1（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是這條雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則此雙曲線(xiàn)的離心率是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：通過(guò)|PF₂|，|PF₁|，|F1F₂|成等差數(shù)列，分別設(shè)為m-d，m，m+d，則由雙曲線(xiàn)定義和勾股定理求出m=4d=8a，
c=

5d

2

，由此求得離心率的值．

解答：解：因?yàn)椤鱂₁PF₂的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)|PF₂|，|PF₁|，|F1F₂|成等差數(shù)列，
分別設(shè)為m-d，m，m+d，
則由雙曲線(xiàn)定義和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）²+m²=（m+d）²，
解得m=4d=8a，c=

5d

2

，故離心率e=

c

a

=

5d 2

d 2

=5，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．