Question

過(guò)點(diǎn)M（-2，0）作斜率為k₁（k₁≠0）的直線與雙曲線x²-

y2

3

=1交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于（　�。�

• A、

  1

  3

• B、3
• C、-

  1

  3

• D、-3

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)直線l的方程為y=k₁（x+2），代入x²-

y2

3

=1，得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求解能夠得到k₁k₂的值．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為y=k₁（x+2），代入x²-

y2

3

=1，得（3-k₁²）x²-4k₁²x-4k₁²-3=0，
所以x₁+x₂=

4 k 2 1

3- k 2 1

，則

x1+x2

2

=

2k1

3- k 2 1

•k₁=

2 k 2 1

3- k 2 1

，即線段AB的中點(diǎn)為P的橫坐標(biāo)為

2 k 2 1

3- k 2 1

，
則縱坐標(biāo)為y=k₁（x+2）=k₁•（

2 k 2 1

3- k 2 1

+2）=

6k1

3- k 2 1

，
所以O(shè)P的斜率k₂=

6k1 3- k 2 1

2 k 2 1 3- k 2 1

=

3

k1

，
所以k₁k₂=3，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，利用直線和雙曲線聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．