Question

20．如圖所示，互相垂直的兩條道路l₁、l₂相交于O點，點P與l₁、l₂的距離分別為2千米、3千米，過點P建一條直線道路AB，與l₁、l₂分別交于A、B兩點． 
（1）當(dāng)∠BAO=45°時，試求OA的長；
（2）若使△AOB的面積最小，試求OA、OB的長．

Answer 1

分析 以l₁為x軸，l₂為y軸，建立平面直角坐標系，則O（0，0），P（3，2）．
（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可設(shè)A（a，0），B（0，a）（a＞0），可得直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，由l過點P（3，2），代入方程解得a即可得出．
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）．直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，由l過點P（3，2），可得$\frac{3}{a}+\frac{2}=1，b=\frac{2a}{a-3}$，（a＞3）．從而${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}a•b=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{a-3}=\frac{a^2}{a-3}$，令a-3=t，t＞0，則a²=（t+3）²=t²+6t+9，代入利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：以l₁為x軸，l₂為y軸，建立平面直角坐標系，則O（0，0），P（3，2）…（1分）
（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可設(shè)A（a，0），B（0，a）（a＞0）
直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，…（3分）
∵l過點P（3，2），∴$\frac{3}{a}+\frac{2}{a}=1⇒a=5$…（5分）
即OA=5（千米）                         …（7分）
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）
則直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
∵l過點P（3，2），∴$\frac{3}{a}+\frac{2}=1，b=\frac{2a}{a-3}$，（a＞3）…（9分）
從而${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}a•b=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{a-3}=\frac{a^2}{a-3}$，…（11分）
令a-3=t，t＞0，則a²=（t+3）²=t²+6t+9，
故有${S_{△ABO}}=\frac{{{t^2}+6t+9}}{t}=t+\frac{9}{t}+6$（t＞0）
設(shè)$f（t）=t+\frac{9}{t}+6$，可證f（t）在（0，3）上遞減，在（3，+∞）上遞增．
∴當(dāng)t=3時，f（t）_max=f（3）=12…（15分）
此時a=6，b=4，直線l的方程為$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$
即OA=6（千米），即OB=4（千米）．        …（16分）

點評 本題考查了直線的截距式、三角形面積計算公式、函數(shù)的單調(diào)性、換元方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．