Question

已知函數(shù)，a_n+1=f（a_n），對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n．
（Ⅰ）求a₁的取值范圍；
（Ⅱ）若a₁=，證明a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下證明-n＜+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合a_n+1=f（a_n），解不等式a_n+1-a_n＜0，再結(jié)合a_n是正數(shù)，可得對(duì)任意n∈N₊，
都有a₁＞1．
（II）先用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．再利用數(shù)學(xué)歸納的方法，可以證明
出a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
（III）由a_n+1=f（a_n）=，解出，再變形得到，
結(jié)合0＜a_n+1＜a_n得到，最后利用g（x）=在（1，+∞）是增函數(shù)，通過(guò)放縮得到，再以此為依據(jù)，進(jìn)行累加可得原不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴＜0
∴
∵a_n是正數(shù)，
∴a_n＞1對(duì)任意n∈N₊恒成立，因此a₁＞1．
（II）∵
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
下面用數(shù)學(xué)歸納法，證明a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
①當(dāng)n=2時(shí)，由a₁=，得
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k＜1+成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=f（a_n）＜f（1+）=（1++）
=（1++1-）＜（2+）=1+，不等式也成立
綜合①②可得，對(duì)任意的n∈N₊，n≥2），均有a_n＜1+成立．
（III）⇒
⇒⇒
設(shè)g（x）=，則g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)
∴
又∵
∴
=                                           
即對(duì)任意的n∈N₊，n≥2，均有-n＜+1成立．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與方程、數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式和運(yùn)用放縮法證明不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．