Question

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一項(xiàng)都不為0．證明：{a_n}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N，都有++…+=．

Answer 1

【答案】分析：先證必要性；設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立．
若d≠0，則==．再用數(shù)學(xué)歸綱法證明充分性：對(duì)任何n∈N，都有++…+=，{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．
解答：證明：先證必要性
設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立．
若d≠0，則

=
==．
再證充分性：
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N都成立，首先在等式①
兩端同時(shí)乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，
所以a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，記公差為d，則a₂=a₁+d．
②假設(shè)a_k=a₁+（k-1）d，當(dāng)n=k+1時(shí)，觀察如下二等式：②，
=將②代入③得，
在該式兩端同時(shí)乘a₁a_ka_k+1，得（k-1）a_k+1+a₁=ka_k，
把a(bǔ)_k=a₁+（k-1）d代入后，整理得a_k+1=a₁+kd．
由數(shù)學(xué)歸納法原理知對(duì)任何n∈N，都有++…+=．
所以，{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、運(yùn)算求解能力．