Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=2，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₀₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+2+（-1）ⁿa_n=2得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=2，可判斷數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2+a_n=2，即a₂+a₄=a₄+a₆=…=2，然后利用分組求和可求得答案．

解答： 解：由a_n+2+（-1）ⁿa_n=2得，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2-a_n=2，即數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2+a_n=2，即a₂+a₄=a₄+a₆=…=2，
∴S₁₀₀=（a₁+a₃+…+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）
=（1+3+…+99）+（2+2+…+2）
=50×1+

50×49

2

×2+2×25=2550，
故答案為：2550．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．