Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+b的最小值為-1，且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出y=|f（x）|的簡圖；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三個不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)圖象的作法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=-1，求得b的值，再根據(jù)f（x）的最小值為-1，求得a的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）畫出函數(shù)y=|f（x）|=|x²-1|的圖象如圖：
（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由題意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t²+mt+2m+3，再分h（x）的零點(diǎn)有一個為1和h（x）的零點(diǎn)不是1兩種情況，分別求出m的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（0）=-1，∴b=-1．
由題意得a＞0，∵f（x）=ax²+（a-1）x-1的最小值為-1，∴

-4a-(a-1)2

4a

=-1，∴a=1．
∴f（x）=x²-1． 
（2）函數(shù)y=|f（x）|=|x²-1|的圖象如圖：
（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），
由題意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．
令h（t）=t²+mt+2m+3．
①當(dāng)方程t²+mt+2m+3=0有一個根為1時，
令h（1）=0，m=-

4

3

．而當(dāng)m=-

4

3

時，t=

1

3

或t=1，不符題意，舍去．
②當(dāng)方程t²+mt+2m+3=0沒有根為1時，
由

h(0)＞0 h(1)＜0

 解得-

3

2

＜m＜-

4

3

，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-

3

2

，-

4

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，帶有絕對值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．