Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求滿足不等式

Tn-2

2n-1

＞2013的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由S_n+n=2a_n，知S_n=2a_n-n．當(dāng)n=1 時(shí)，S₁=2a₁-1，則a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-（n-1），故a_n=2a_n-1+1，由此能夠證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）由b_n=（2n+1）a_n+2n+1，得T_n=（2×1+1）2¹+（2×2+1）2²+（2×2+1）2³+…+（2n+1）2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出T_n，并得到滿足

Tn-2

2n-1

=2n+1＞2013的n的最小值為10．

解答：證明：（1）由S_n+n=2a_n得 S_n=2a_n-n
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-n，①
當(dāng)n=1 時(shí)，S₁=2a₁-1，則a₁=1，
則當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-1=2a_n-1-（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴

an+1

an-1+1

=2，
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）證明：由b_n=（2n+1）a_n+2n+1，a_n=2ⁿ-1，
得b_n=（2n+1）（2ⁿ-1）+2n+1=（2n+1）2ⁿ，
則T_n=（2×1+1）2¹+（2×2+1）2²+（2×2+1）2³+…+（2n+1）2ⁿ ③
2T_n=（2×1+1）2²+（2×2+1）2³+…+[2（n-1）+1]2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹  ④
③-④，得-T_n=（2×1+1）2¹+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-2n×2n+1
=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
所以Tn=(2n-1)×2n+1+2，
則

Tn-2

2n-1

=

(2n-1)×2n+1+2-2

2n-1

=2n+1．
解不等式2ⁿ⁺¹＞2013得到n+1≥11，即n≥10
故滿足不等式

Tn-2

2n-1

＞2013的n的最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．