Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），其焦距為2，點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=mx+t（m∈R），使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立？若存在，求出實數(shù)t的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=1，再由點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上．，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，進而得到a，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4m²）x²+8tmx+4t²-12=0．由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C的焦距2c=2，解得c=1，
∵點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4（{a}^{2}-1）}=1$，解得a²=4，b²=3
∴橢圓C的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4m²）x²+8tmx+4t²-12=0．
△=（8tm）²-4（3+4m²）（4t²-12）＞0，化簡得3+4m²＞t²．
x₁+x₂=$\frac{-8mt}{3+4{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-12}{3+4{m}^{2}}$，
假設(shè)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（mx₁+t）（mx₂+t）=0，
（1+m²）x₁x₂+tm（x₁+x₂）+m²=0，
化簡得7t²=12+12m²．代入3+4m²＞t²中得${t}^{2}＞\frac{3}{4}$．
有∵7t²=12+12m²≥12，∴t²≥$\frac{12}{7}$，即$≥\frac{2\sqrt{21}}{7}$，或t$≤-\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴存在實數(shù)t，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立，實數(shù)t的取值范圍為（-$∞，-\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，屬于中檔題．