Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nloga_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，可得數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中項，求出公比，即可求{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，求出S_n，要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即可求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（1）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴a₂+a₄=2a₃+4，則2a₁+8a₁=8a₁+4，即a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；                   …（5分）
（2）由（1）及b_n=-a_nlog₂a_n得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴-n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（8分）
=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2                   …（10分）
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n＞5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活地運用公式解答．