Question

f（x）和g（x）都是定義在集合M上的函數(shù)，對(duì)于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，稱函數(shù)f（x）與g（x）在M上互為“H函數(shù)”．
（1）若函數(shù)f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數(shù)”，證明：f（n）=g（b）
（2）若集合M=[-2，2]，函數(shù)f（x）=x²，g（x）=cosx，判斷函數(shù)f（x）與g（x）在M上是否互為“H函數(shù)”，并說(shuō)明理由．
（3）函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互為“H函數(shù)”，求a的取值范圍及集合M．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數(shù)”，知f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立，由此能夠證明f（n）=g（b）．
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）互為“H函數(shù)”，則對(duì)于任意的x∈M，f（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx²=cos²x，對(duì)于任意x∈[-2，2]恒成立，由此能推導(dǎo)出在集合M上，函數(shù)f（x）與g（x）不是互為“H函數(shù)”．
（3）由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1），變形得a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，由此能求出a的取值范圍及集合M．
解答：（1）證明：∵f（x）=ax+b，
g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數(shù)”，
∴對(duì)于?x∈R，f（g（x））=g（f（x））成立．
即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立…（2分）
∴max+an+b=amx+mb+n，…（2分）
∴an+b=mb+n，
∴f（n）=g（b）．…（1分）
（2）解：假設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）互為“H函數(shù)”，
則對(duì)于任意的x∈Mf（g（x））=g（f（x））恒成立．
即cosx²=cos²x，對(duì)于任意x∈[-2，2]恒成立…（2分）．
當(dāng)x=0時(shí)，cos0=cos0=1．
不妨取x=1，則cos1²=cos1，所以cos1≠cos²1…（2分）
所以假設(shè)不成立，在集合M上，
函數(shù)f（x）與g（x）不是互為“H函數(shù)”…（1分）．
（3）解：由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
變形得，a^x（a-1）=1，
由于a＞0且a≠1，
因?yàn)閍^x＞0，所以，即a＞1…（2分）
此時(shí)x=-log_a（a-1），
集合M={x|x=-log_a（a-1），a＞1}…（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值相等的證明，考查兩個(gè)函數(shù)是否互為“H函數(shù)”的判斷，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．