Question

若函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域?yàn)镸．當(dāng)x∈M時(shí)，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

解：y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²．
令2^x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t-3t²=-3t²+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（t）∈（-4，]，
當(dāng)t＞8時(shí)，f（x）∈（-∞，-160），
當(dāng)2^x=t=，即x=log₂時(shí)，f（x）_max=．
綜上可知：當(dāng)x=log₂時(shí)，f（x）取到最大值為，無最小值．
分析：根據(jù)題意可得M={x|x²-4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2^x+2-3×4^x=-3•（2^x）²+4•2^x
令t=2^x，則t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=-3t²+4t利用二次函數(shù)在區(qū)間（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以指數(shù)函數(shù)的最值的求解為載體進(jìn)而考查了二次函數(shù)在區(qū)間上的最值班的求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的運(yùn)用，是一道綜合性比較好的試題．