Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

3

4

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n+a_n=l（n∈N^*），S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，試比較a_n與8S_n的大小．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用已知遞推式，只要證明

1

an+1-1

-

1

an-1

是一個常數(shù)即可；
（II）利用“裂項求和”和“作差法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

an-1

-

1

an-1

=-1，
又

1

a1-1

=

1

3 4 -1

=-4，
∴數(shù)列{

1

an-1

}是首項為-4，公差為-1的等差數(shù)列．
∴

1

an-1

=-4-(n-1)=-n-3，化為an=

n+2

n+3

（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n+a_n=l（n∈N^*），
∴b_n=1-a_n=

1

n+3

，
∴bnbn+1=

1

n+3

-

1

n+4

，
∴S=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，
從而a_n-8S_n=

n+2

n+3

-

2n

n+4

=

-n2+8

(n+3)(n+4)

，
∴當(dāng)n≤2時，a_n＞8S_n；
當(dāng)n≥3時，a_n＜8S_n．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”和“作差法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．