Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），且當(dāng)x∈（-1，3]時，f（x）=

1+cos πx 2 ， 1＜x≤3 x2， -1＜x≤1

則g（x）=f（x）-1g|x|的零點個數(shù)是（　　）

• A、9
• B、10
• C、18
• D、20

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，以及y=|1gx|的圖象，結(jié)合圖象當(dāng)x＞10時，y=lg10＞1此時與函數(shù)y=f（x）無交點，即可判定函數(shù)函數(shù)g（x）=f（x）-1g|x|的零點個數(shù)

解答： 解：解：R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為周期為4的周期函數(shù)，
根據(jù)周期性畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，y=log₆x的圖象
根據(jù)y=lg|x|在（1，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x=10時lg^₁₀=1，
∴當(dāng)x＞10時y=lgx此時與函數(shù)y=f（x）無交點，
結(jié)合圖象可知有9個交點，
則函數(shù)g（x）=f（x）-lg|x|的零點個數(shù)為18，
故選：C

點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將函數(shù)g（x）=f（x）-1g|x|的零點個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易．