Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（2）若

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意a_n+1=2S_n+3，遞推出an的表達式，然后兩式相減，即可發(fā)現(xiàn)a_n為等比數(shù)列，從而求出a_n的通項公式；
（2）由（1）數(shù)列{a_n}的通項公式，把a₁，a₂和a₃帶進去，再根據(jù)等比數(shù)列的性質求出，b₁，b₂，b₃，推出b_n的通項公式，然后再求其前項和T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2s_n-1+3（n≥2）（2分）
相減得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1-a_n=2a_n，則

an+1

an

=3（4分）
∵當n=1時，a₂=2a₁+3=9，
∴

a2

a1

=3（5分）
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（6分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，∴b₂=5（7分）
由題意(

a2

3

+b2)2=(

a1

3

+b1)(

a3

3

+b3)，而

a1

3

=1，

a2

3

=3，

a3

3

=9
設b₁=5-d，b₂=5，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）（10分）
故Tn=nb1+

n(n-1)

2

d=3n+

n(n-1)

2

•2=n2+2n（12分）

點評：此題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質，根據(jù)數(shù)列的遞推法求其通項公式，還考查了等比數(shù)列的前n項的和，這是比較基礎的應用．