Question

在△中，已知 、，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)，，過點(diǎn)作直線垂直于，且與直線交于點(diǎn)，試在軸上確定一點(diǎn)，使得；

（3）在（II）的條件下，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（4,0）；（3）4.

【解析】本試題考查了雙曲線的定義的運(yùn)用，求解軌跡方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，結(jié)合數(shù)量積公式表示定值。

解：（I），∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn).  …………………1分  

設(shè)雙曲線方程為.

由已知，得  解得       ∴.                                                     ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.                   

注：未去處點(diǎn)（2，0），扣1分

（I）        由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x =2.

設(shè)的方程為.                             5分

     ∵點(diǎn)是與直線的交點(diǎn)，∴.設(shè)

     由  整理得             

  則此方程必有兩個(gè)不等實(shí)根

，且.                                              

      ∴  ∴.             

      設(shè)，要使得，只需

      由，，

∴  

∵此時(shí)∴所求的坐標(biāo)為      

  （III）由（II）知，∴，.

  ∴.

∴