(1)已知,求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值.
(2)求函數(shù)的值域.
第 (1)題,求函數(shù)的最大值,由極值定理可知,需構造某個和為定值,可考慮把括號內外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)即可;第(2)題中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0與x<0討論.(1) 解法1:∵,∴.∴ ,當且僅當3x=1-3x,即時,等號成立.∴當時,函數(shù)取最大值.解法 2:∵,∴.∴ ,當且僅當,即時,等號成立.∴時,函數(shù)取最大值.本小題也可以將解析式展開,使用二次函數(shù)配方法求配,使用基本不等式求積的最大值,關鍵是構造某個和為定值,為使用基本不等式創(chuàng)造條件,同時要注意等號成立的條件是否具備. (2) 解:當x>0時,由基本不等式,得當且僅當x=1時,等號成立;當 x<0時,.∵- x>0,∴,當且僅當,即x=-1時,等號成立.∴ .綜上可知:函數(shù) 的值域為.在利用基本不等式求最值 (或值域)時,要注意“一正二定三相等”是否同時具備,否則所求結果可能出錯. |
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