Question

9．如圖，△OBC為等腰直角三角形，∠BOC=90°，OB=3，BD=1，一束光線從點(diǎn)D入射，先后經(jīng)過(guò)斜邊BC與直角邊OC反射后，恰好從點(diǎn)D射出，則該光線所走的路程是$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程，利用光的反射原理和對(duì)稱性，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再計(jì)算|DE|、|EF|和|DF|的值，求和即可．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由OB=3，BD=1，
可得B（3，0），C（0，3），D（2，0），∴BC的方程為x+y-3=0．
設(shè)M，N分別是點(diǎn)D關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
則M（3，1），N（-2，0），
由光的反射原理可知，M，E，F(xiàn)，N四點(diǎn)共線，
又直線MN的方程為 $\frac{y-1}{0-1}$=$\frac{x-3}{-2-3}$，即 x-5y+2=0，
可得點(diǎn)E（$\frac{13}{6}$，$\frac{5}{6}$），F(xiàn)（0，$\frac{2}{5}$），
∴|DE|=$\sqrt{{（\frac{13}{6}-2）}^{2}{+（\frac{5}{6}-0）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{6}$，|EF|=$\sqrt{{（\frac{13}{6}-0）}^{2}{+（\frac{5}{6}-\frac{2}{5}）}^{2}}$=$\frac{13\sqrt{26}}{30}$，
|DF|=$\sqrt{{（2-0）}^{2}{+（0-\frac{2}{5}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{5}$；
∴|DE|+|EF|+|DF|=$\sqrt{26}$，
故答案為：$\sqrt{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求直線的方程，三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的靈活應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．