Question

【題目】如圖， 是⊙的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 平面， ， ．

（）求證．

（）若點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)?jiān)谄矫?/span>內(nèi)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡方程，并求出點(diǎn)在內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）首先由圓的性質(zhì)可得，由平面易得，由線面垂直判定定理可得面，進(jìn)而易得；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， ，將用兩點(diǎn)間距離公式可得的軌跡是圓，可求與軸正半軸， 軸正半軸坐標(biāo)，進(jìn)而可求，由弧長(zhǎng)公式得結(jié)果.

試題解析：（）證明：∵為圓的直徑， 在圓周上，∴，

∵平面， 面，∴，

∵，∴面，

∵面，∴，得證．

（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， ．

設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)， ， ，

∴，

整理可得： ，∴的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，

可求與軸正半軸， 軸正半軸坐標(biāo)為， ．∴，

∴點(diǎn)在中軌跡長(zhǎng)度．