已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2
3
，且f（A）=1，求A和△ABC面積的最大值．
分析：（1）用三角函數(shù)公式公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后直接求出值域．
（2）首先求出A，再利用余弦定理求得b2+c2=bc+12，結(jié)合面積公式求解．
解答：解：（1）f（x）=sin2x+1+
3
sinxcosx+
1
2
-2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1
2
cosx
=sin（2x-
π
6
）
所以f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．
（2）f（A=sin（2A-
π
6
）=1，所以2A-
π
6
=
π
2
+2kπ，A=
π
3
+kπ．
因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以A=
π
3
．
由a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2=bc+12
b=c=2
3
時(shí)取等號(hào)
此時(shí)S△ABC=
1
2
bcsinA=3
3
所以△ABC面積的最大值為3
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形的面積公式，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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