Question

12．以下關(guān)于向量說(shuō)法的四個(gè)選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是（　�。�

• A． 若任意向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$共線且$\overrightarrow a$為非零向量，則有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b$
• B． 對(duì)于任意非零向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0$，則$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$
• C． 任意非零向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a與\overrightarrow b$同向
• D． 若A，B，C三點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，則點(diǎn)A是線段BC的三等分點(diǎn)且離C點(diǎn)較近

Answer 1

分析 舉例說(shuō)明$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，命題A不成立；
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與模長(zhǎng)公式，判斷命題B正確；
由平面向量數(shù)量積公式知$\overrightarrow a與\overrightarrow b$方向相同或相反，判斷命題C錯(cuò)誤；
根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，得出2$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$，判斷命題D錯(cuò)誤．

解答 解：對(duì)于A，$\overrightarrow a與\overrightarrow b$共線且$\overrightarrow a$為非零向量，若$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$時(shí)，
則不存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b$成立，∴A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，對(duì)于任意非零向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0$，
則${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=0，即$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，∴B正確；
對(duì)于C，任意非零向量$\overrightarrow a與\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$，
則它們夾角的余弦值cosθ=±1，∴$\overrightarrow a與\overrightarrow b$同向或反向，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖所示，

$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，∴$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴2$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴點(diǎn)A是線段BC的三等分點(diǎn)且離B點(diǎn)較近，∴D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本概念與命題真假的判斷問(wèn)題，是中檔題．