Question

定義在R⁺上的增函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）若f（x）+f（5-x）＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，分析可得：f（2）=f（2）+f（1），把f（2）=1代入求得f（1）；根據(jù)f（4）=f（2）+f（2），把f（2）=2代入即可求得f（4）
（2）根據(jù)題設(shè)可知f（x）+f（5-x）=f[x•（5-x）]＞2，同時2=f（4），進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得x（5-x）＞4求得x的范圍，同時根據(jù)函數(shù)單調(diào)性知可知x＞0，5-x＞0最后取交集，x的范圍可得．
解答：解：（1）f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1）=1
∴f（1）=0
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2
（2）f（x）+f（5-x）=f[x•（5-x）]＞2=f（2）+f（2）=f（4），
因為f（x）是增函數(shù)，所以x（5-x）＞4，即x²-5x+4＜0，x的范圍為1＜x＜4，
因為定義在R+上，所以x＞0，5-x＞0結(jié)合1＜x＜4，
所以最終得到實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜4
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是靈活利用特設(shè)中關(guān)系式，同時還要注意函數(shù)的定義域的問題．