Question

2．正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足$\frac{S_n}{a_n}=pn+q（{p，q為常數(shù)}）$，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）若p=1，q=0，求證：{a_n}是等差數(shù)列
（2）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求p的值．
（3）證明：a₂₀₁₆=2016a₁的充要條件是p=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）p=1，q=0時(shí)，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=n，可得S_n=na_n，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=a_n-1，即可證明．
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，a_n=a₁+（n-1）d．
又$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=pn+q，可得na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=（pn+q）[a₁+（n-1）d]（*）．比較兩邊的系數(shù)可得：$\fraceseiece{2}$=pd，對(duì)d 分類討論，進(jìn)而得出．
（3）由$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=p+q=1，可得q=1-p．由S_n=（pn+1-p）a_n，利用遞推關(guān)系可得：p（n-1）a_n=（pn+1-2p）a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{pn+1-2p}=\frac{{a}_{n-1}}{p（n-1）}$．必要性：當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$（n≥2）可得a₂₀₁₆=2016a₁．充分性：反證法，當(dāng)p$＞\frac{1}{2}$時(shí)，可得$\frac{{a}_{2016}}{2016}$$＜\frac{{a}_{1}}{1}$，不滿足a₂₀₁₆=2016a₁．當(dāng)p$＜\frac{1}{2}$時(shí)，同理可證明，不滿足a₂₀₁₆=2016a₁．

解答 （1）證明：p=1，q=0時(shí)，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=n，可得S_n=na_n，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1，
化為：a_n=a_n-1，
∴a_n=a₁，∴{a_n}是等差數(shù)列．
（2）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，a_n=a₁+（n-1）d．
則$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}}{{a}_{1}+（n-1）d}$=pn+q，∴na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=（pn+q）[a₁+（n-1）d]（*）．
比較兩邊的系數(shù)可得：$\fracemsw86c{2}$=pd，
當(dāng)d=0時(shí)，na₁=a₁（pn+q），解得p=1，q=0．
此時(shí)，S_n=na_n，由（1）可得：{a_n}是等差數(shù)列．
當(dāng)d≠0時(shí)，p=$\frac{1}{2}$．由（*）比較常數(shù)項(xiàng)可得：0=（a₁-d）q，
則d=a₁，a_n=nd，{a_n}是等差數(shù)列．綜上可得：p=1或$\frac{1}{2}$．
（3）證明：由$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=p+q=1，可得q=1-p．
由S_n=（pn+1-p）a_n，S_n-1=（pn+1-2p）a_n-1（n≥2），
相減可得：p（n-1）a_n=（pn+1-2p）a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{pn+1-2p}=\frac{{a}_{n-1}}{p（n-1）}$．
必要性：當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$（n≥2）．∴$\frac{{a}_{2016}}{2016}$=$\frac{{a}_{2015}}{2015}$=…=$\frac{{a}_{1}}{1}$，
∴a₂₀₁₆=2016a₁．
充分性：反證法，當(dāng)p$＞\frac{1}{2}$時(shí)，由p（n-1）a_n=（pn+1-2p）a_n-1=pna_n-1+（1-2p）a_n-1（n≥2），
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，∴p（n-1）a_n＜（1-2p）a_n-1（n≥2），即$\frac{{a}_{n}}{n}$$＜\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{2016}}{2016}$$＜\frac{{a}_{1}}{1}$，不滿足a₂₀₁₆=2016a₁．當(dāng)p$＜\frac{1}{2}$時(shí)，
同理可證明，不滿足a₂₀₁₆=2016a₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充要條件的判定、方程的解法、反證法、分類討論方法、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力，屬于難題．