已知兩個命題r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果對?x∈R,r(x)與s(x)有且僅有一個是真命題,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:若對?x∈R,r(x)與s(x)有且僅有一個是真命題,則使兩個命題成立的實數(shù)m的范圍,不可能同時滿足,也不可能同時不滿足,使兩個命題成立的實數(shù)m的范圍,然后構(gòu)造關(guān)于m的不等式,即可得到答案.
解答:解:∵sinx+cosx=sin(x+)≥-
∴當r(x)是真命題時,m<-
又∵對?x∈R,s(x)為真命題,即x2+mx+1>0恒成立,有△=m2-4<0,∴-2<m<2.
∴當r(x)為真,s(x)為假時,m<-,
同時m≤-2或m≥2,即m≤-2,
當r(x)為假,s(x)為真時,m≥-且-2<m<2,
即-≤m<2.
綜上所述,m的取值范圍是m≤-2或-≤m<2.
點評:本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用,其中使兩個命題成立的實數(shù)m的范圍,是解答本題的關(guān)鍵.
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{m|m≤-2或-
2
≤m<2}
{m|m≤-2或-
2
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