已知函數(shù)f（x）滿足：數(shù)學(xué)公式，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）等于


  1. A.
    -1
  2. B.
    0
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    1
B
分析：令x=1，y=0，可求得f（0），進(jìn)一步可求得f（1）與f（2）的值，再令y=1，可求得f（x+1）+f（x-1）=f（x），繼而有f（x+3）+f（x）=0，得到函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù)，即可解決問(wèn)題．
解答：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），
令y=1則：f（x+1）+f（x-1）=f（x）…（1），
再以x+1代x可得：f（x+2）+f（x）=f（x+1）…（2），
兩式相減得：f（x+2）+f（x-1）=0，
即f（x+3）+f（x）=0．
∴f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），即函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù)．
∴f（0）+f（1）+…+f（2013）
=[f（0）+f（3）]+[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]
+…+[f（2010）+f（2013）]+f（2011）+f（2012）
=0+0+…+0+f（2011）+f（2012）
=f（335×6+1）+f（335×6+2）
=f（1）+f（2），
令x=1，y=0，得2f（1）=2f（1）•f（0），又f（1）=，
∴f（0）=1，
同理可得f（2）=-，
∴f（1）+f（2）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=0．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，求得f（x+3）+f（x）=0是關(guān)鍵，得到f（x+6）=f（x）是難點(diǎn)，考查綜合分析與觀察解決問(wèn)題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=f（x-1）；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=2x，則f（log27）=（　　）

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