Question

【題目】已知向量 ， ，函數(shù) ， .
（1）若 的最小值為-1，求實數(shù) 的值；
（2）是否存在實數(shù) ，使函數(shù) ， 有四個不同的零點？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

，

∴ ，

∵ ∴ ，

，令 ，

∴

∵ ，對稱軸為 ，

①當(dāng) 即 時，當(dāng) 時， ∴ 舍，

②當(dāng) 即 時，當(dāng) 時， ∴ ，

③當(dāng) 即 是，當(dāng) 時， ∴ 舍，

綜上， .

（2）解：令 ，即 ，

∴ 或 ，

∵ ， 有四個不同的零點，

∴方程 和 在 上共有四個不同的實根，

∴ ∴ ∴ .

【解析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算公式結(jié)合兩角和差的正弦公式整理原式可得=cos2x，再結(jié)合向量坐標(biāo)的線性運算求出的坐標(biāo)，進而求出其模的值，然后得出f(x) 的代數(shù)式f ( x ) = cos 2 x 2 m cos x + 1 = 2 cos2 x 2 m cos x，令 t = cos x由角的取值范圍得出t的取值范圍t∈ [ , 1 ] ，根據(jù)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值 ymin = 1 得出對稱軸 t = ,分類討論求解得出m的值。(2)利用(1)的結(jié)論求出 g(x) 的解析式求出cosx的值，令函數(shù)y=cosx再區(qū)間有四個不同的零點，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，將實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點問題求解即可。