已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅰ)如果函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的值域?yàn)閇6,+∞),求b的值;
(Ⅱ)研究函數(shù)y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)對(duì)函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫(xiě)出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)F(x)=(x2+
1
x
n+(
1
x2
+x
n(n是正整數(shù))在區(qū)間[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).
分析:(1)函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的最小值是2
2b
=6,由此可求出b的值.
(2)設(shè)0<x1<x2,y2-y1=
x
2
2
+
c
x
2
2
-
x
2
1
-
c
x
2
1
=(
x
2
2
-
x
2
1
)(1-
c
x
2
1
x
2
2
)
.由此入手經(jīng)過(guò)講座可知該函數(shù)在(-∞,-
4c
]上是減函數(shù),在[-
4c
,0)上是增函數(shù).
(3)可以把函數(shù)推廣為y=xn+
a
xn
(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),函數(shù)y=xn+
a
xn
在(0,
2na
]上是減函數(shù),在[
2na
,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,-
2na
]上是增函數(shù),在[-
2na
,0)上是減函數(shù);當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),函數(shù)y=xn+
a
xn
在(0,
2na
]上是減函數(shù),在[
2na
,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,-
2na
]上是減函數(shù),在[-
2na
,0)上是增函數(shù).并且由函數(shù)的單調(diào)性可求出當(dāng)x=1時(shí)F(x)取得最小值2n+1
解答:解:(1)函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的最小值是2
2b
,則2
2b
=6,
∴b=log29.
(2)設(shè)0<x1<x2,y2-y1=
x
2
2
+
c
x
2
2
-
x
2
1
-
c
x
2
1
=(
x
2
2
-
x
2
1
)(1-
c
x
2
1
x
2
2
)

當(dāng)
4c
<x1<x2時(shí),y2>y1,函數(shù)y=x2+
c
x2
在[
4c
,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)0<x1<x2
4c
時(shí)y2<y1,函數(shù)y=x2+
c
x2
在(0,
4c
]上是減函數(shù).
又y=x2+
c
x2
是偶函數(shù),于是,
該函數(shù)在(-∞,-
4c
]上是減函數(shù),在[-
4c
,0)上是增函數(shù);
(3)可以把函數(shù)推廣為y=xn+
a
xn
(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),函數(shù)y=xn+
a
xn
在(0,
2na
]上是減函數(shù),在[
2na
,+∞)上是增函數(shù),
在(-∞,-
2na
]上是增函數(shù),在[-
2na
,0)上是減函數(shù);
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),函數(shù)y=xn+
a
xn
在(0,
2na
]上是減函數(shù),在[
2na
,+∞)上是增函數(shù),
在(-∞,-
2na
]上是減函數(shù),在[-
2na
,0)上是增函數(shù);
F(x)=(x2+
1
x
)n
+(
1
x2
+x)n

=
C
0
n
(x2n+
1
x2n
)
+C
1
n
(x2n-2+
1
x2n-3
)
+…+
C
r
n
(x2n-3r+
1
x2n-3r
)+…+
C
n
n
(xn+
1
xn
)

因此F(x)在[
1
2
,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).
所以,當(dāng)x=
1
2
或x=2時(shí),F(xiàn)(x)取得最大值(
9
2
n+(
9
4
n
當(dāng)x=1時(shí)F(x)取得最小值2n+1;
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
旦(a>0)有如下的性質(zhì):在區(qū)間(0,
a
]上單調(diào)遞減,在[
a
,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)如果函數(shù)f(x)=x+
2b
x
在(0,4]上單調(diào)遞減,在[4,+∞)上單調(diào)遞增,求常數(shù)b的值.
(2)設(shè)常數(shù)a∈[l,4],求函數(shù)y=x+
a
x
在x∈[l,2]的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
上是減函數(shù),在
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
2b
x
在(0,4)上是減函數(shù),在(4,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)常數(shù)b的值;
(2)設(shè)常數(shù)c∈1,4,求函數(shù)f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
(x>0)有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
b2
x
(x>0)的值域?yàn)閇6,+∞),求b的值;
(2)研究函數(shù)y=x2+
c
x2
(x>0,常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明(若有多個(gè)單調(diào)區(qū)間,請(qǐng)選擇一個(gè)證明);
(3)對(duì)函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(x>0,常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫(xiě)出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)F(x)=(x2+
1
x
)2
+(
1
x2
+x)2
在區(qū)間[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù),
(1)如果函數(shù)y=x+
3m
x
(x>0)
的值域是[6,+∞),求實(shí)數(shù)m的值;
(2)研究函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(3)若把函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)在[1,2]上的最小值記為g(a),求g(a)的表達(dá)式.

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同步練習(xí)冊(cè)答案