Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁B⊥平面AB₁C；
（2）求直線A₁D與平面AB₁C所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明A₁A⊥AC．AC⊥A₁B．推出AB₁⊥A₁B．即可證明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）連結(jié)A₁C，設(shè)AB₁∩A₁B=O，連CO，交A₁D于G．說明G為△A₁BC的重心．推出∠A₁GO是A₁D與平面AB₁C所成的角．設(shè)AB=AC=AA₁=1，在Rt△A₁OG中，求解直線A₁D與平面AB₁C所成的角為60°．

解答 （1）證明：圖1所示，因?yàn)锳₁A⊥平面ABC，則A₁A⊥AC．
又AC⊥AB，則AC⊥平面AA₁B₁B，所以AC⊥A₁B．（3分）
由已知，側(cè)面AA₁B₁B是正方形，則AB₁⊥A₁B．
因?yàn)锳B₁∩AC=A，所以A₁B⊥平面AB₁C．（5分）
（2）解：圖2所示，連結(jié)A₁C，設(shè)AB₁∩A₁B=O，連CO，交A₁D于G．
因?yàn)镺為A₁B的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，則G為△A₁BC的重心．
因?yàn)锳₁O⊥平面AB₁C，則∠A₁GO是A₁D與平面AB₁C所成的角．（8分）
設(shè)AB=AC=AA₁=1，則A₁B=BC=A₁C=$\sqrt{2}$．
得A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁G=$\frac{2}{3}$A₁D=$\frac{2}{3}×\sqrt{2}×$sin 60°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△A₁OG中，sin∠A₁GO=$\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}G}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則∠A₁GO=60°．
所以直線A₁D與平面AB₁C所成的角為60°．（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面市場(chǎng)價(jià)的求法，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．