Question

已知sin

α

2

=

5

5

，cos（α+β）=

5

13

，α∈（0，π），β∈(0，

π

2

)
（1）求sin2α的值
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角公式求出 cosα的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα的范圍，再利用二倍角公式求出sin2α的值．
（2）根據(jù)（α+β）的范圍及cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin（α+β）的值，再利用兩角差的正弦公式sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
求出結(jié)果．

解答：解（1）∵cosα=1-2sin2

α

2

=1-2×

1

5

=

3

5

，∵α∈（0，π），∴sinα=

4

5

．
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

．
（2）∵β∈(0，

π

2

)，α∈（0，π），∴α+β∈(0，

3π

2

)．
又∵cos（α+β）=

5

13

＞0，∴α+β∈(0，

π

2

)，∴sin（α+β）=

12

13

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

16

65

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，注意角的取值范圍和三角函數(shù)值的符號，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．