給定數(shù)列.對，該數(shù)列前項的最大值記為，后項的最小值記為，.

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列為，，，，寫出，，的值；

（Ⅱ）設(shè)是公比大于的等比數(shù)列，且.證明：是等比數(shù)列.

（Ⅲ）設(shè)是公差大于的等差數(shù)列，且，證明：是等差數(shù)列.

 

【答案】

充分利用題目所給信息進(jìn)行反復(fù)推理論證.要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，常用定義法.

【解析】（Ⅰ）.

（Ⅱ）因為，公比，所以是遞增數(shù)列.

因此，對，，

于是對，.

因此，，且，即成等比數(shù)列.

（Ⅲ）設(shè)為的公差.

對，因為，

所以，

又因為，所以.

從而是遞增數(shù)列.因此.

又因為，所以.

因此.

所以.

所以

因此，對于都有，

即是等差數(shù)列.

【考點定位】本題考查了數(shù)列的最值、等差數(shù)列和等比數(shù)列.考查了推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力.試題難度較大，解答此題，需要非常強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義一種運算*，滿足n*k=n•λk-1（n、k∈N+，λ是非零實常數(shù)）．
（1）對任意給定的k，設(shè)an=n*k(n=1，2，3，…)，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求k=2時，該數(shù)列的前10項和；
（2）對任意給定的n，設(shè)bk=n*k(k=1，2，3，…)，求證：數(shù)列{bk}是等比數(shù)列，并求出此時該數(shù)列的前10項和；
（3）設(shè)cn=n*n(n=1，2，3，…)，試求數(shù)列{cn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設(shè)a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，…，dn-1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0．證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是公差d大于零的等差數(shù)列，對某個確定的正整數(shù)k，有a12+ak+12≤M（M是常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，a1=2，當(dāng)k=3時，M=100，寫出所有這樣數(shù)列的前4項；
（2）當(dāng)k=5，M=100時，對給定的首項，若由已知條件該數(shù)列被唯一確定，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）記Sk=a1+a2+…+ak，對于確定的常數(shù)d，當(dāng)Sk取到最大值時，求數(shù)列{an}的首項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市奉賢區(qū)2011屆高三12月調(diào)研測試數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，前kn項和記為

Skn(n，k∈N*)，對給定的常數(shù)k，若是與n無關(guān)的非零常數(shù)t＝f(k)，則稱該數(shù)列{an}是“k類和科比數(shù)列”，

(1)已知Sn＝an－(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)在(1)的條件下，數(shù)列an＝2cn，求證數(shù)列{cn}是一個“1類和科比數(shù)列”；

(3)、設(shè)等差數(shù)列{bn}是一個“k類和科比數(shù)列”，其中首項b1，公差D，探究b1

與D的數(shù)量關(guān)系，并寫出相應(yīng)的常數(shù)t＝f(k)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試北京卷文數(shù) 題型：044

給定數(shù)列a1，a2，……，an．對i＝1，2，3，…，n－1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n－i項ai+1，ai+2，……，an的最小值記為Bi，di＝Ai－Bi．

(1)設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值．

(2)設(shè)a1，a2，……，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，證明d1，d2，……，dn－1是等比數(shù)列．

(3)設(shè)d1，d2，……，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明a1，a2，……，an－1是等差數(shù)列．

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