已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=2an+
λ
an
,(a,λ∈R)
(Ⅰ)若λ=-2,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若a=2,試寫出an≥2對任意n∈N*成立的充要條件,并證明你的結(jié)論.
考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷,數(shù)列的函數(shù)特性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,簡易邏輯
分析:(Ⅰ)當(dāng)λ=-2時,an+1=2an-
2
an
,由{an}單調(diào)遞增,得出an+1>an,求出an的取值范圍,即得a的取值范圍.
(Ⅱ)an≥2對任意n∈N*成立的充要條件是λ≥-4,應(yīng)證明必要性與充分性都成立.
解答: 解:(Ⅰ)若λ=-2,則an+1=2an-
2
an
,
∵an+1>an,∴an+1-an>0,
∴an-
2
an
>0,
an2-2
an
>0,
解得an
2
 或-
2
<an<0,
只需a1
2
 或-
2
<a1<0,
即a>
2
 或-
2
<a<0,
∴實數(shù)a的取值范圍是(-
2
,0)∪(
2
,+∞);
(Ⅱ) an≥2對任意n∈N*成立的充要條件為λ≥-4;
必要性:an≥2時,設(shè)an+1=2an+
λ
an
≥2,則λ≥-2an2+2an,
令f(n)=-2(an-
1
2
)
2
+
1
2
,其中an≥2,
∴f(n)max=f(
1
2
)=-4,即λ≥-4,必要性成立;
充分性:用數(shù)學(xué)歸納法證明λ≥-4時,對一切n∈N*,an≥2成立;
證明:(1)顯然n=1時,結(jié)論成立;
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時結(jié)論成立,即ak≥2,
當(dāng)n=k+1時,ak+1=2ak+
λ
ak
;
考察函數(shù)f(x)=2x+
λ
x
,x∈[2,+∞),
①若-4≤λ≤0,由f′(x)=2-
λ
x2
>0,知f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,
由假設(shè)得ak+1=2ak+
λ
ak
≥4+
λ
2
≥2;
②若λ>0,對x∈[2,+∞)總有f(x)=2x+
λ
x
>4>2,
則由假設(shè)得ak+1=2ak+
λ
ak
>2;
所以,n=k+1時,結(jié)論成立,
綜上可知:當(dāng)λ≥-4時,對一切n∈N*,an≥2成立;
所以,an≥2對任意n∈N*成立的充要條件是λ≥-4.
點評:本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征以及充分與必要條件的證明和不等式的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
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已知平面α,命題甲:若a∥α,b∥α,則a∥b,命題乙:若a⊥α,b⊥α,則a∥b,則下列說法正確的是( 。
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B、當(dāng)a,b均為平面時,命題甲、乙都是真命題
C、當(dāng)a為直線,b為平面時,命題甲、乙都是真命題
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2x+y≤2
y+2≥0
,則目標函數(shù)z=3x-y的最小值為( 。
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(1)求a1,a2;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若bn=
1
anan+1an+2
,求證數(shù)列{bn}的前n項和Tn
1
60

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f(x)=sin(2ωx-
π
6
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
3
對稱,其中ω∈(-
1
2
5
2
)

(1)求f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移
π
3
個單位,再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)后得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求y=g(x)的解析式;
(3)若函數(shù)y=g(x)(x∈(
π
2
,3π)
)的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數(shù)列,求a的值.

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若對任意的n∈N*,都有λan>n(n+1)成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=2
3
sin(x+
π
4
)cos(x+
π
4
)-sin(2x+π).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若將f(x)的圖象向右平移
π
12
個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2,g(x)=alnx,其中a≠0.
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已知兩個不共線的單位向量
a
,
b
,
c
=t
a
+(1-t)
b
,若
c
•(
a
-
b
)
=0,則t=
 

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