Question

【題目】如圖下圖①，等邊三角形ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊上的點，且滿足＝k，現將△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如圖下圖②.

(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；

(2)求二面角BACD的正切值．

①　　②

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) .

【解析】

（1）根據AB平行EF即可說明（2）過點D作DG⊥AC于點G，連接BG，可證∠BGD是二面角BACD的平面角，解三角形即可求出.

(1)AB∥平面DEF，

理由如下：在△ABC中，

因為E，F分別是AC，BC上的點，且滿足＝＝k，

所以AB∥EF.

因為AB平面DEF，EF平面DEF，

所以AB∥平面DEF.

(2)如圖所示，過點D作DG⊥AC于點G，連接BG.

因為AD⊥CD，BD⊥CD，

所以∠ADB是二面角ACDB的平面角．

所以∠ADB＝90°，即BD⊥AD.

所以BD⊥平面ADC.

所以BD⊥AC.

所以AC⊥平面BGD.

所以BG⊥AC.

所以∠BGD是二面角BACD的平面角．

在△ADC中，AD＝a，DC＝a，AC＝2a，所以DG＝＝＝.

在Rt△BDG中，tan∠BGD＝＝ ，即二面角BACD的正切值為 .