Question

2．廣播電臺為了了解某地區(qū)的聽眾對某個戲曲節(jié)目的收聽情況，隨機抽取了100名聽眾進行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的聽眾日均收聽該節(jié)目的頻率分布直方圖，將日均收聽該節(jié)目時間不低于40分鐘的聽眾成為“戲迷”
（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷“戲迷”與性別是否有關(guān)？

	“戲迷”	非戲迷	總計
男
女	10		55
總計

附：K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率當(dāng)作概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量的聽眾中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1名聽眾，抽取3次，記被抽取的3名聽眾中“戲迷”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果相互獨立，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖求得“戲迷”有25人，完成2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K²≈3.030＜3.841，故沒有理由認(rèn)為“戲迷”與性別有關(guān)；
（Ⅱ）由題意可知X～B（3，$\frac{1}{4}$），根據(jù)二項分布求得其分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知在抽取的100人中，“戲迷”有（0.02+0.005）×10×100=25人，
“戲迷”有25人，-----（1分）
2×2列聯(lián)表如下：

	“戲迷”	非戲迷	總計
男	15	30	45
女	10	45	55
總計	25	75	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式：
K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{{n}_{1}+n}_{2}+{n}_{3}+{n}_{4}}$，
=$\frac{100×（30×10-45÷15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030＜3.841，
故沒有理由認(rèn)為“戲迷”與性別有關(guān)．-------------（6分）
（Ⅱ）由題可知抽到“戲迷”的概率為0.25，
由題意可知X～B（3，$\frac{1}{4}$），

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴數(shù)學(xué)期望E（X）=np=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
方差D（X）=np（1-p）=3×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}$．--------------（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查二項分布的計算公式、分布列和數(shù)學(xué)期望及方差的計算公式，考查計算能力，屬于中檔題．