Question

已知實數a＜-

2

，則關于x的函數f（x）=（sinx+a）（cosx+a）的最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：函數f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²，令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]．可得sinxcosx=

t2-1

2

，f（x）=g（t）=

1

2

(t+a)2+

a2-1

2

．根據實數a＜-

2

與二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：函數f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]．
則1+2sinxcosx=t²，∴sinxcosx=

t2-1

2

．
∴f（x）=g（t）=

t2-1

2

+ta+a²=

1

2

(t+a)2+

a2-1

2

．
∵實數a＜-

2

，∴-a＞

2

．
∴函數g（t）在t∈[-

2

，

2

]單調遞減，
∴當t=

2

時，g（t）取得最小值g(

2

)=

2

a+

1

2

+a²
故答案為：

2

a+

1

2

+a²．

點評：本題考查了三角函數變換、換元法、二次函數的單調性、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力余角是哪里，屬于難題．