【題目】如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？請證明你的結(jié)論；

（3）求直線與平面所成角的余弦值；

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)題意，利用空間向量計(jì)算，即可得在上存在點(diǎn)，使得平面

（3）利用空間向量計(jì)算得直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而可得余弦值.

由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，

（1）由題意，，，

所以，異面直線與所成角的余弦值，

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）在上存在點(diǎn)，使得平面，此時有.證明如下：

假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，即，取，解得，，

∴平面的一個法向量為，

由題意，得，即，即，

所以，在上存在點(diǎn)，使得平面，此時有.

（3）直線與平面所成角的正弦值：，

所以，直線與平面所成角的余弦值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】到2020年，我國將全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中語文、數(shù)學(xué)、英語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣、愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門（6選3）參加考試，滿分各100分.為了順利迎接新高考改革，某學(xué)校采用分層抽樣的方法從高一年級1000名（其中男生550名，女生450名）學(xué)生中抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人數(shù).

（2）該校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目，且只能選擇一個科目），得到如下列聯(lián)表.

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

10

女生

25

總計(jì)

（i）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)系.

（ii）在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名學(xué)生中抽取2名，求這2名中至少有1名男生的概率.

附：，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)對任意的恒成立時，求函數(shù)的最大值的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出如下四個命題：

①“”是“”的充分而不必要條件；

②命題“若，則函數(shù)有一個零點(diǎn)”的逆命題為真命題；

③若是的必要條件，則是的充分條件；

④在中，“”是“”的既不充分也不必要條件．

其中正確的命題的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若某產(chǎn)品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對值不超過1mm 時，則視為合格品，否則視為不合格品。在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取5000件進(jìn)行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品。計(jì)算這50件不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差（單位：mm）, 將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：

分組

頻數(shù)

頻率

[-3, -2)

　

0.10

[-2, -1)

8

　

（1,2]

　

0.50

（2,3]

10

　

（3,4]

　

　

合計(jì)

50

1．00

（Ⅰ）將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在答題卡的相應(yīng)位置；

（Ⅱ）估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間（1,3]內(nèi)的概率；

（Ⅲ）現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進(jìn)行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品。據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R．

(1)求A∪B，(CUA)∩B；

(2)若A∩C≠，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，，）.

（1）當(dāng)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且方程有且只有一個根，求的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，當(dāng)，，，且函數(shù)為偶函數(shù)時，試判斷能否大于？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在

上是單調(diào)函數(shù)；②在 上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù) 的“和諧區(qū)間”，

下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

B.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

C.函數(shù) 不存在 “和諧區(qū)間”

D.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的極值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得與的單調(diào)區(qū)間相同，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）若，求證：在上恒成立.

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