Question

已知函數(shù)的定義域為[－2，t](t>－2)，
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)在[－2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）求證：對于任意的t>－2，總存在∈(－2，t)，滿足，
并確定這樣的的個數(shù).

Answer 1

（1）－2<t≤0（2）略

(1) 因為f′(x)＝(x²－3x＋3)·e^x＋(2x－3)·e^x＝x(x－1)·e^x，
由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，
所以f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上遞增，在(0,1)上遞減.
若f(x)在[－2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則－2<t≤0
(2)證明：因為，所以 即為x－x₀＝(t－1)²，
令g(x)＝x²－x－(t－1)²，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程
g(x)＝x²－x－(t－1)²＝0在(－2，t)上有解，并討論解的個數(shù).
因為g(－2)＝6－(t－1)²＝－(t＋2)(t－4)，
g(t)＝t(t－1)－(t－1)²＝(t＋2)(t－1)，
①當t>4或－2<t<1時，g(－2)·g(t)<0，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且只有一解；
②當1<t<4時，g(－2)>0且g(t)>0，但由于g(0)＝－(t－1)²<0，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且有兩解；
③當t＝1時，g(x)＝x²－x＝0⇒x＝0或x＝1，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有且只有一解；
當t＝4時，g(x)＝x²－x－6＝0⇒x＝－2或x＝3，
所以g(x)＝0在(－2,4)上也有且只有一解.
綜上所述，對于任意的t>－2，總存在x₀∈(－2，t)，滿足 且當t≥4或－2<t≤1時，有唯一的x₀適合題意；當1<t<4時，有兩個x₀適合題意.