Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是減函數；
（3）當x∈[-

1

2

，

3

2

]時，利用圖象求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件f（2）=0，方程f（x）-1=0有兩個相等的實數根，建立等式，求解a，b的值即可；
（2）直接根據函數單調性的定義證明為減函數即可；
（3）作出該函數在x∈[-

1

2

，

3

2

]上的圖象，然后，根據圖象得到最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax²+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax²+bx-1=0有兩個相等的實數根．
∴△=b²+4a=0 ②，
聯立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x²+2x，
∴函數f（x）的解析式：f（x）=-x²+2x．
（2）任設x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁ ²+2x₁+x₂²-2x₂，
=（x₂-x₁）[2-（x₁+x₂）]，
∵1≤x₁≤x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數；
（3）如圖示：

當x=1時，函數有最大值1，
當x=-

1

2

時，函數有最小值-

5

4

．

點評：本題重點考查了二次函數的圖象與性質、數形結合思想等知識．屬于中檔題．考查比較綜合，高考中對二次函數的考查力度有所加大，希望引起足夠的重視．