Question

第29屆奧運會期間，來自美國和英國的共計6名志愿者被隨機地平均分配到跳水、籃球、體操這三個崗位服務(wù)，且跳水崗位至少有一名美國志愿者的概率是

3

5

．
（Ⅰ）求6名志愿者中來自美國、英國的各幾人；
（Ⅱ）求籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率．
（Ⅲ）設(shè)隨機變量X為在體操崗位服務(wù)的美國志愿者的個數(shù)，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)至少一名美國志愿者被分到跳水崗位的對立事件為沒有美國志愿者被分到跳水崗位，設(shè)出來自美國的人數(shù)，根據(jù)對立事件的概率列出關(guān)于x的方程，得到結(jié)果．
（II）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生所包含的事件是從6個人中選2個人，共有C₆²種結(jié)果，滿足條件的事件是從美國人中選一個，從英國人中選一個，共有C₄¹C₂¹種結(jié)果，得到概率．
（III）由題意知變量X的所有可能值為0，1，2，根據(jù)變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到X為0，1，2三個數(shù)字時對應(yīng)的概率，寫出變量的分布列和做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）記至少一名美國志愿者被分到跳水崗位為事件A，
則A的對立事件為“沒有美國志愿者被分到跳水崗位”，設(shè)有美國人x個，1≤x＜6，
那么P(A)=1-

C 2 6-x C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

3

5

，
解得x=2，即來自美國的2人，來自英國的4人．                             （4分）
（Ⅱ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生所包含的事件是從6個人中選2個人，共有C₆²種結(jié)果，
滿足條件的事件是從美國人中選一個，從英國人中選一個，共有C₄¹C₂¹種結(jié)果
記籃球崗位恰好美國人、英國人各有一人為事件E，那么P(E)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
所以籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率是

8

15

．              （8分）
（III）由題意知變量X的所有可能值為0，1，2，
根據(jù)變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到，
P(X=0)=

C 2 4 C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

2

5

，P(X=1)=

C 1 2 C 1 4 C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

8

15

，P(X=2)=

C 2 4

C 2 6 C 2 4

=

1

15

，
∴變量的分布列為：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

（10分）
∴E(X)=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

（人）．                  （12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是理解題意，看出變量對應(yīng)的事件，根據(jù)對應(yīng)的事件做出對應(yīng)的概率，本題是一個中檔題目．