Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為、離心率為，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
（I）求橢圓方程；
（II）求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)橢圓的標準方程，根據(jù)短軸長為、離心率為可求出a，b，c的值，從而得到答案．
（2）先設(shè)l與橢圓C交點為A、B的坐標，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，進而得到兩根之和、兩根之積，再表示出再將兩根之和、兩根之積代入可得，整理可得＞0解出m的范圍．
解答：解：（I）設(shè)C：=1（a＞b＞0），設(shè)c＞0，c²=a²-b²，
由條件知2b=，，
∴a=1，b=c=
故C的方程為：
（II）設(shè)l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
得（k²+2）x²+2mx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
，
∵∴-x₁=3x₂
∴
得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=時，上式不成立；m²時，，
由（*）式得k²＞2m²-2
因k≠0∴＞0，
∴-1＜m＜-或＜m＜1
即所求m的取值范圍為（-1，-）∪（，1）．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程、基本性質(zhì)和直線與橢圓的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點題目，要強化學習．