Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(＋1)，一等軸雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)＝1.＝1.(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

則k₁＝，k₂＝.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)x²－y²＝4上，所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.

(3)存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

【解析】

試題分析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a²＝b²＋c²，因此b＝2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

由題意設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(m＞0)，因?yàn)榈容S雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m＝2，因此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，則k₁＝，k₂＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)x²－y²＝4上，所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.

(3)由于PF₁的方程為y＝k₁(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，

顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.由韋達(dá)定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

則，

又k₁·k₂＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

考點(diǎn)：本題考查了圓錐曲線(xiàn)方程的求法及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，往往要聯(lián)立方程，同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；而對(duì)于最值問(wèn)題，則可將該表達(dá)式用直線(xiàn)斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式