Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分別為AC，B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求線段MN的長；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）線段CC₁上是否存在點Q，使A₁B⊥平面MNQ？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接CN，易證AC⊥平面BCC₁B₁．由勾股定理可得CN的值，進而可得MN的長；
（Ⅱ）取AB中點D，連接DM，DB₁，可得四邊形MDB₁N為平行四邊形，可得MN∥DB₁，由線面平行的判定定理可得MN∥平面ABB₁A₁；（Ⅲ）當Q為CC₁中點時，有A₁B⊥平面MNQ． 連接BC₁，易證QN⊥BC₁．可得A₁B⊥QN，A₁B⊥MQ，由線面垂直的判定可得．

解答：解：（Ⅰ）連接CN，因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC，所以AC⊥CC₁，…（2分）
因為AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC₁B₁．               …（3分）
因為MC=1，CN=

CC12+C1N2

=

5

，
所以MN=

6

    …（4分）
（Ⅱ）證明：取AB中點D，連接DM，DB₁                      …（5分）
在△ABC中，因為M為AC中點，所以DM∥BC，DM=

1

2

BC．
在矩形B₁BCC₁中，因為N為B₁C₁中點，所以B₁N∥BC，B₁N=

1

2

BC．
所以DM∥B₁N，DM=B₁N．所以四邊形MDB₁N為平行四邊形，所以MN∥DB₁．        …（7分）
因為MN?平面ABB₁A₁，DB₁?平面ABB₁A₁…（8分）
所以MN∥平面ABB₁A₁．                                  …（9分）
（Ⅲ）解：線段CC₁上存在點Q，且Q為CC₁中點時，有A₁B⊥平面MNQ． …（11分）
證明如下：連接BC₁，
在正方形BB₁C₁C中易證QN⊥BC₁．
又A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，所以A₁C₁⊥QN，從而NQ⊥平面A₁BC₁．…（12分）
所以A₁B⊥QN．                                         …（13分）
同理可得A₁B⊥MQ，所以A₁B⊥平面MNQ．
故線段CC₁上存在點Q，使得A₁B⊥平面MNQ．             …（14分）

點評：本題考查直線與平面平行于垂直的判定，熟練掌握判定定理是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．