Question

（山東卷文3）函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）的值域為

1. A.
   （0，+∞）
2. B.
   [0，+∞）
3. C.
   （1，+∞）
4. D.
   [1，+∞）

Answer 1

A
分析：函數(shù)的定義域為R，結合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知3^x＞0恒成立，則真數(shù)3^x+1＞1恒成立，再結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求得本題值域．
解答：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可知，真數(shù)3^x+1＞0恒成立，解得x∈R．
因此，該函數(shù)的定義域為R，
原函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）是由對數(shù)函數(shù)y=log₂t和t=3^x+1復合的復合函數(shù)．
由復合函數(shù)的單調(diào)性定義（同増異減）知道，原函數(shù)在定義域R上是單調(diào)遞增的．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，3^x＞0，所以，3^x+1＞1，
所以f（x）=log₂（3^x+1）＞log₂1=0，
故選A．
點評：本題考查了對數(shù)復合函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性知識點，高中要求不高，只需同學們掌握好“同増異減“原則即可；本題還考查了同學們對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)（如：3^x＞0）的掌握，這是指數(shù)函數(shù)求定義域和值域時常用知識．