Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+），x∈R
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；
（II）當(dāng)x∈[-，]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）
=sin2x+sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）．
=cos2x+sin2x+sin²x-cos²x
=cos2x+sin2x-cos2x=sin（2x-）
由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-kπ+]，k∈Z
由2x-=kπ+，k∈Z，得：x=+，k∈Z，
對稱軸方程為x=+，k∈Z，
（2）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，因為f（x）=sin（2x-）
在區(qū)間[-，]上單調(diào)遞增．在區(qū)間[，]單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=，f（x）取最大值l．
又∵f（-）=-＜f（）=，當(dāng)x=-時，f（x）取最小值-
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域為[-，1]．
分析：（I）利用兩角和與差的正弦余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，再利用二倍角公式，化簡為sin（2x-），結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，以及對稱軸方程；
（II）根據(jù)x∈[-，]，求出2x-的范圍，求出sin（2x-）的最值即可求得函數(shù)f（x）的值域．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)式的化簡求值，三角函數(shù)的基本性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是解好三角函數(shù)問題的關(guān)鍵．