Question

已知函數滿足f（-1）=0，且對任意x＞0都有．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）若在（0，2]上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對賦值x=1，則可求；
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程組，再借助于對任意x＞0都有，從而問題得解；
（3）利用單調性的定義，設0＜x₁＜x₂≤2可有，從而1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，所以1-m≥4，故可求實數m的取值范圍．
解答：解：（1）由，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得．
當x≥0時，
①②
由①式a≤0顯然不成立，∴a＞0，∵Q（x）=2ax²-x+（1-2a）的圖象的對稱軸為，
∴△=1-8a（1-2a）≤0，即（4a-1）²≤0，∴，
從而，而此時②式為（x-1）²≥0，∴．
（3），設0＜x₁＜x₂≤2，則，∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-（1-m）＜0，即1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，∴1-m≥4，
∴m≤-3．
點評：本題主要考查函數解析式的求解，考查恒成立的處理，采用了賦值法，屬于中檔題．