已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓數(shù)學公式的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在（0，+∞）上變化時，討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關系．

解：（1）由已知得橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k），設P（x0，y0），則，∴直線BP的方程為：，
得
∴
當且僅當即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值3．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，，此時直線BP的方程為
設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x2+6tx+t2-16=0
由△=36t2-40（t2-16）=0得
當時，BP與l'的距離為，此時S△BPQ=
當時，BP與l'的距離為，此時S△BPQ=
∴當時，這樣的Q點有4個
當時，這樣的Q點有3個
當時，這樣的Q點有2個
當時，這樣的Q點有1個
當時，這樣的Q點不存在．
分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），由此能求出橢圓C的方程．
（2）線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k）．由題設條件可以求出 ，求得|MN|，再由均值不等式進行求解．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，，設與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x2+6tx+t2-16=0，利用△=36t2-40（t2-16）=0得最后即可解決問題．
點評：本題考查橢圓與直線的位置關系，（3）解答關系是利用方程的思想轉化成根的判別等于0的問題，另外解題時要注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選做題（考生只能從A、B、C題中選作一題）
A、已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點，則|AB|=
 
．
B、若關于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0有實根，則實數(shù)a的取值范圍為
 
．
C、如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CAP=30°，
則PC=
 
cm．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在（0，+∞）上變化時，討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點，則|AB|=
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題：（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題評分）
A．（不等式選做題）不等式
x+5
(x-1)2
≥2的解集是
[-
1
2
，1）∪（1，3]
[-
1
2
，1）∪（1，3]
．
B．（幾何證明選做題） 如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CAP=30°，則PC=
3
3
3
3
．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點，則|AB|=
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線x+2y-4=0,則直線的斜率為__________,傾斜角為__________,在x軸、y軸上的截距分別為__________.

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