已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓數(shù)學(xué)公式的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點P是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AP,BP與直線l:x=5分別交于M,N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求線段MN的長度的最小值;
(3)當(dāng)線段MN的長度最小時,Q點在橢圓上運動,記△BPQ的面積為S,當(dāng)S在(0,+∞)上變化時,討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關(guān)系.

解:(1)由已知得橢圓C的左頂點為A(-4,0),上頂點為D(0,2),
∴a=4,b=2,
故橢圓C的方程為
(2)直線AP的斜率k顯然存在,且k>0,故可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+4),從而M(5,9k),設(shè)P(x0,y0),則,∴直線BP的方程為:,


當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
時,線段MN的長度取最小值3.
(3)由(2)知,當(dāng)線段MN的長度取最小值時,,此時直線BP的方程為
設(shè)與BP平行的直線l':3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x2+6tx+t2-16=0
由△=36t2-40(t2-16)=0得
當(dāng)時,BP與l'的距離為,此時S△BPQ=
當(dāng)時,BP與l'的距離為,此時S△BPQ=
∴當(dāng)時,這樣的Q點有4個
當(dāng)時,這樣的Q點有3個
當(dāng)時,這樣的Q點有2個
當(dāng)時,這樣的Q點有1個
當(dāng)時,這樣的Q點不存在.
分析:(1)由已知得,橢圓C的左頂點為A(-4,0),上頂點為D(0,2),由此能求出橢圓C的方程.
(2)線AP的斜率k顯然存在,且k>0,故可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+4),從而M(5,9k).由題設(shè)條件可以求出 ,求得|MN|,再由均值不等式進行求解.
(3)由(2)知,當(dāng)線段MN的長度取最小值時,,設(shè)與BP平行的直線l':3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x2+6tx+t2-16=0,利用△=36t2-40(t2-16)=0得最后即可解決問題.
點評:本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系,(3)解答關(guān)系是利用方程的思想轉(zhuǎn)化成根的判別等于0的問題,另外解題時要注意公式的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)選做題(考生只能從A、B、C題中選作一題)
A、已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
(θ為參數(shù))相交于A、B兩點,則|AB|=
 

B、若關(guān)于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0有實根,則實數(shù)a的取值范圍為
 

C、如圖,⊙O的直徑AB=6cm,P是延長線上的一點,過點P作⊙O的切線,切點為C,連接AC,若∠CAP=30°,
則PC=
 
cm.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點P是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AP,BP與直線l:x=5分別交于M,N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求線段MN的長度的最小值;
(3)當(dāng)線段MN的長度最小時,Q點在橢圓上運動,記△BPQ的面積為S,當(dāng)S在(0,+∞)上變化時,討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
(θ為參數(shù))相交于A、B兩點,則|AB|=
6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題:(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一題評分)
A.(不等式選做題)不等式
x+5
(x-1)2
≥2
的解集是
[-
1
2
,1)∪(1,3]
[-
1
2
,1)∪(1,3]

B.(幾何證明選做題) 如圖,⊙O的直徑AB=6cm,P是延長線上的一點,過點P作⊙O的切線,切點為C,連接AC,若∠CAP=30°,則PC=
3
3
3
3

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線x+2y-4=0與
x=2-3cosθ
y=1+3sinθ
(θ為參數(shù))相交于A、B兩點,則|AB|=
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線x+2y-4=0,則直線的斜率為__________,傾斜角為__________,在x軸、y軸上的截距分別為__________.

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同步練習(xí)冊答案