Question

過(guò)點(diǎn)P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（　�。�

A．4條

B．3條

C．2條

D．1條

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線與拋物線y²=x只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程組

y=kx+1 y2=x

只有一解，分兩種情況討論即可：（1）當(dāng)該直線存在斜率時(shí)；（2）該直線不存在斜率時(shí)；

解答：解：（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為：y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=x

，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
①若k=0，方程為-x+1=0，解得x=1，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)（1，1）；
②若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=

1

4

，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線不存在斜率時(shí)，
該直線方程為x=0，與拋物線相切只有一個(gè)交點(diǎn)；
綜上，過(guò)點(diǎn)P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與分類討論思想，解決基本方法是：（1）代數(shù)法，轉(zhuǎn)化為方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（2）幾何法，數(shù)形結(jié)合；